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運用數學模型分析和解決問題過程研究

時間:2020-02-22 來源:教育科學論壇 作者:劉麗,吳中林 本文字數:4826字
數學建模獲獎論文優秀范文10篇之第八篇:運用數學模型分析和解決問題過程研究
 
  摘要:數學建模是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。數學建模過程主要包括:在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數、求解模型,檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題。基于學生學習實際,按照“注重引領、發現問題,綜合信息、建立模型,探究途徑、求解模型,深入思考、完善模型”的模式進行數學建模的培養、實施教學,有助于教師設計教學內容和環節,能有效幫助學生運用數學模型分析和解決問題,提升數學建模、數據分析、數學運算等數學核心素養。
 
  關鍵詞:核心素養; 數學建模; 數學建模過程;
 
  2014年3月,教育部提出“研究制訂學生發展核心素養體系和學業質量標準,組織研究提出各學段學生發展核心素養體系,明確學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力,制訂中小學各學科學業質量標準,把核心素養和學業質量要求落實到各學科教學中”[1];2017年12月,普通高中新修訂課程方案與課程標準頒布,凝練了各學科核心素養,提出了學業質量標準,數學學科將“學生發展為本,立德樹人,提升素養”作為基本課程理念之一。在課程標準提出的六個核心素養中,數學建模具有獨特的地位,數學模型搭建了數學與外部世界聯系的橋梁,是數學應用的重要形式,是應用數學解決實際問題的基本手段,也是推動數學發展的動力,對培養學生用數學眼光觀察世界、用數學思維思考問題、用數學語言表達交流,提高發現問題、提出問題、分析問題、解決問題能力具有重要意義。
數學建模
 
  數學建模是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。數學建模主要表現為“發現和提出問題,建立和求解模型,檢驗和完善模型,分析和解決問題”;數學建模過程主要包括“在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數、計算求解,檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題。因此,在數學建模過程中,可以基于學生學習實際,按照“注重引領、發現問題,綜合信息、建立模型,探究途徑、求解模型,深入思考、完善模型”的模式實施教學,設計課題任務與學習活動、教學內容和環節。
 
  一、注重引領,發現問題
 
  美國大衛·庫伯教授曾指出:“讓體驗成為學習和發展的源泉。”高中生初步接觸數學建模,缺乏完善的建模知識、方法和思維,有的甚至簡單地認為數學建模就是解應用題和數學競賽題。因此,在教學之前教師要清楚數學建模和數學模型之間的差異和聯系。數學建模是應用數學知識和方法解決實際問題的基本手段,更注重研究過程;數學模型是解決實際問題所需的數學知識和方法的重要呈現形式,更強調結果。形成數學建模基本思維的首要環節是發現問題、收集分析問題、提出問題。教師在教學過程中應注重選擇有效的方法引領學生用數學的眼光觀察世界,用數學邏輯思維思考問題。
 
  (一)善于在教材中發現問題
 
  在教學實際中,還較普遍存在忙于應付鋪天蓋地的教輔資料,忽略教材在教學和學習中的地位及作用,不少學生處于刷題模式,沒有時間整理、反思、總結所學數學知識,也沒有時間提出和搞懂自己的問題和疑惑。長此以往,學生不能明白什么是問題、如何發現問題,有的學生認為難題、競賽題屬于問題;有的學生認為搞不懂的知識和做不來的試題屬于問題;有的學生認為教科書上的知識、試題和問題很簡單,就不用花時間和精力去學習。這些認識是錯誤的、片面的、功利的。教材中的概念、定理、數學模型等經典知識能夠充分展現數學知識、方法形成和產生的過程,例題和習題都經過精挑細選,比如三角函數模型、觀察周期、指數函數模型、線性模型、概率模型等。教材中的探究與發現、閱讀與思考,信息技術應用和實習作業等拓展性欄目都經過精心設計,不僅能拓展知識、開闊眼界,還能培養學生從生活中提出問題的習慣和能力。因此,在學習過程中應充分引領學生善于提問,學會提問,“凡事多問為什么”,善于從數學角度對一些現象進行深入思考,學會用自己的語言來描述問題,從而生動、形象地將發現的問題提出來。
 
  (二)善于在生活中發現問題
 
  數學來源于生活,又服務于生活。很多學生卻認為數學除應付考試外,在生活中毫無用處,這是極端錯誤的觀點。為了讓學生認識到數學是有用的,數學是自然的,明確數學與我們的生活息息相關,數學建模在解決科學、工程技術等問題中具有重要性和廣泛性,教師應在深入研究數學建模理論知識的基礎上恰當地選擇貼近生活、生產、科學和技術方面的素材,或者讓學生(或合作學習小組)根據社會熱點問題和生活經驗發現和提出相關的數學問題。比如針對我國人口老齡化現象,指導學生查找關于二孩政策提出的原因和作用的資料,談談自己對政策的理解,從而提出問題。又如我國高鐵技術處于世界領先地位,通過觀看視頻、查詢資料等方式,在增強學生民族自豪感的同時,讓學生發揮想象,發現問題、提出問題,從而潛移默化中提升學生的核心素養。再如,基于當地生活實際,跑山雞、生態豬等綠色養殖業應運而生,可引導學生結合自己了解的情況發現問題、提出問題……
 
  (三)善于在遷移中發現問題
 
  隨著科技的發展和社會的進步,數學思想不斷滲透到各學科領域,數學建模廣泛應用于解決其他學科的問題。沒有數學,就不能客觀認識世界,應讓學生深刻領悟數學在物質世界和精神世界中的地位和作用。因此,要更好地調動學生學習數學的熱情和興趣,培養學生的主動性,從而達成教學目標。比如建筑類中,我國橋梁建設技術堪稱世界一流,可通過實地考察、查詢資料,提出諸如建筑成本、建設時長、建設周期等問題;在物理學科中,涉及很多數學知識和數學模型,如單擺問題即三角函數周期模型、圓錐曲線、三角函數等,在教學過程中借助生動有趣的物理問題激發學生的學習興趣,引導學生主動地探索物理問題的相關關系,將物理問題轉化為數學模型,借助數學知識和計算機技術求解,進而把得到的數據應用于生活,服務于人類,如地鐵運行時間的調度,隧道修建等;概率模型在生物遺傳學中的應用、立體幾何模型在化學中的應用等,都能促進學生在遷移中發現問題。因此,在教學過程中應善于運用跨學科問題,做到融會貫通,突出數學建模素養的作用,提升數學應用能力。
 
  二、綜合信息,建立模型
 
  建立模型是數學建模核心素養的重要表現。在學生知道“是什么、為什么”的基礎上,教師要進一步引導學生用恰當的數學語言、數學符號對已提出的問題進行抽象和思考,讓學生結合已有的知識和經驗解決“能怎么、怎么樣”的問題,即建立相應的數學模型。
 
  (一)利用已知建立模型
 
  選模和建模的主要依據是已知條件。結合已有知識、經驗和數學方法挖掘隱含條件,篩選主要影響條件,區分條件的主次影響和相關聯系是首要工作,如層次分析法、灰色關聯法和相關系數法等。當條件明顯、單一時一般能夠直接根據已知條件確定選擇相應的數學模型,這類模型都是屬于高中比較基礎的內容,一般利用待定系數法建立函數模型。比較常見的有一次函數、二次函數、形數指數函數和對數函數等模型。
 
  (二)利用對比建立模型
 
  當已知條件、隱含條件比較多,數據統計、分析比較復雜時,常常借助已有知識和經驗,認真分析比對已知條件與已有模型的參數和適用條件選擇恰當的數學模型,人工智能技術軟件自動根據已知條件匹配相應的數學模型(如案例推理技術,相關系數技術),通過比對每種函數模型解決問題的效果來選擇最好模型。通過對比,可以更好地選擇恰當的模型,更好地闡述已有數據表現的客觀現象。對比學習不僅能夠較好地解決問題,還蘊藏著數據分析、邏輯推理、數學運算等數學核心素養。
 
  (三)利用關聯建立模型
 
  當問題的已知條件模糊,數據繁瑣時,常常借助數學方法(如多元統計分析方法)對問題的相關信息進行加工處理,模糊匹配已有的數學模型,修正模型,即關聯建模。在關聯情境中,學生需牢固掌握基礎數學知識,積累一些典型的數學模型,并能靈活運用這些數學模型。如經濟數學模型:經濟增長模型(線性回歸模型),生產函數模型(對數線性模型);社會數學模型:人口增長模型(指數函數模型);等級評價模型(平均數模型)等。
 
  三、探究途徑,求解模型
 
  問題轉化為數學模型后,借助有效的求解途徑才能高效地求解出結果,進而更好發揮模型的作用,提升數學建模素養。
 
  (一)運用代數方法求解模型
 
  高中階段很多數學模型都能運用代數方法求解,比如初等函數中利用配方法解決一元二次函數有關的最值問題;指數函數、對數函數模型可利用函數單調性等進行求解;其他復合函數模型或超越函數模型可借助導函數、均值不等式、三角換元、極坐標方程等知識求解。
 
  (二)運用數形結合求解模型
 
  在模型實際求解過程中,我們還會遇到不需求出解的精準值,只需估計解的取值范圍或解的個數的問題。解決這類問題一般借助數形結合建立形與數的聯系來解,借助幾何作圖估算結果。比如人教A版教材必修1中例1,可用二分法求近似解,也可用函數單調性及零點存在定理求解,還可以通過兩個函數圖像交點進行求解。
 
  (三)運用信息技術求解模型
 
  教材在閱讀與思考、信息技術應用等板塊都介紹了信息技術在數學中的應用,充分說明利用信息技術求解模型優勢。尤其是一些常見數學模擬模型軟件,可以把人工不能計算或難于計算的復雜數據快速處理,也可以解決代數方法、幾何模型不能解決的問題。因此,適當運用信息技術求解模型,可以達到方便、快捷、準確,節約人力、物力的效果,是數學模型求解的好幫手。比如利用幾何畫板研究與圖像有關的結論和問題,類比解決其他問題;利用MATALB編寫程序可以求解方程的近似解,求解最優解問題;利用仿真數字模擬軟件可以研究股票等的變化趨勢。
 
  四、深入思考,完善模型
 
  任何數學模型求解的結果都不可能與實際問題完全吻合,有些小誤差可能導致出現嚴重的偏差。因此,需要深入思考,運用修訂影響條件和修訂模型的參數等方法來完善數學模型,從而提高數學模型的穩定性和求解結果的準確性。
 
  (一)修訂條件完善模型
 
  恰當的已知條件直接決定數學模型的好壞,在實際生活中模型的建立并不是一蹴而就的。結合數學模型的求解結果,不斷修訂預設條件和考慮每個條件所占的權重,找到一個符合實際問題的臨界點,才能完善模型。比如養殖業中,喂養環境、喂養技術等都是作為喂養依據,如果考慮利潤最大化,還需考慮市場需求、質量好壞等。
 
  (二)檢驗結果完善模型
 
  在學習實際中,有的學生求解模型時草草結束運算,缺乏反思、檢驗的習慣。實際上,有時模型的解答結果與實際情況相差甚遠。如解析幾何中常見的是否存在性問題,往往會忽略隱形條件得出錯誤結論;解與三角形有關模型問題時,容易忽視三角形本身應滿足的條件;在最值問題中,常常忽略自變量的取值范圍等。因此,教師要引導學生養成檢驗、完善結果的好習慣,培養嚴謹的數學思維。
 
  (三)綜合分析完善模型
 
  建立的數學模型,存在數學模型穩定性差、精確度低、誤差大、局限性大的可能性。求解模型后,可借助一些專業手段對已選擇的數學模型進行綜合分析,從而完善模型,通過綜合分析主次影響因素和不同模型的求解結果,仔細審核,深入思考,調整、確定最終的數學模型。
 
  在數學建模活動中,掌握必要的建模方法特別是經歷數學建模過程,可以促進學生真實地體驗如何通過數學的“眼睛”來觀察和分析現實世界中的事件,提出并且利用數學的“語言”來描述和分析這些事情,最后能數學化地形成比較清晰的假設、目標問題等。經歷數學建模過程,能有效幫助學生學會用數學模型分析和解決問題,提升數學建模、數據分析、數學運算等數學核心素養;能讓學生感悟數學是現實的、有用的,從而理解數學的學科價值,展現數學的育人價值,增強學生學習數學的興趣,促進學生更好地發展。
 
  參考文獻
  [1] 中華人民共和國教育部.中華人民共和國教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見[S].教基二〔2014〕4號,2014-3-30.
  [2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2018.
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    劉麗,吳中林.數學建模過程的理解與教學實施[J].教育科學論壇,2019(35):68-71.
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